1994 yılında Muğlaspor'da başladığı futbol kariyerinde kısa süre içinde genç milli takımlarda gösterdiği performansla dikkat çeken Fevzi Tucay, bir yıl sonra Beşiktaş'a transfer oldu. 7 yıl boyunca siyah beyazlı ekibin kalesini koruyan Fevzi, futbolu bırakacağı 2012 yılına kadar hem Süper Lig'de hem de alt liglerde birçok farklı takımda forma giydi.

Futbolu bıraktıktan sonra Altınordu formasıyla antrenör olarak yeşil sahalara dönen Tuncay; Uşakspor, Tarsus İdman Yurdu, Diyarbekirspor ve Muğlaspor'da da kaleci antrenörlüğü yaptı.

2020 yılında ise Antalya'da kurduğu kendi adını taşıyan futbol akademisinde gençlere tecrübelerini aktaran Tuncay, ayrıca "Nefes ile Dönüştürücü Yaşam Koçu" olarak da eğitimler veriyor.