Burhan Eşer, 2004 yılında altyapısından yetiştiği Diyarbakırspor'da profesyonel kariyerine başlayadı. Buradaki performansıyla beğeni toplayan Burhan, o dönem Süper Lig'de mücadele eden takımıyla iyi bir çıkış yakaladı. 2007 yazında Gençlerbirliğine transfer olan başarılı kanat oyuncusu hem başkent temsilcisinde hem de bir sonraki durağı olan Eskişehir'de 3'er yıl top koşturdu. 

2013 yılında ise Sivasspor'a imza atan Burhan, en istikrarlı ve golcü yıllarını Yiğido'nun forması altında yaşadı. Sivasspor'un küme düşmesi sonucu 2016-2017 sezonunda TFF 1. Lig'de oynamaya başlayan deneyimli isim, bir alt ligde de iyi grafiğini sürdürdü ve takımının yeniden Süper Lig'e yükselmesini sağladı. Burhan Eşer TFF 1. Lig'de Sivasspor sonrası sırasıyla BB Erzurumspor, Osmanlıspor ve Akhisarspor'da oynadı. 

2020'de TFF 2. Lig ekiplerinden Hekimoğlu Trabzonspor ile anlaşan Burhan Eşer, halen Trabzon temsilcisinin formasını giyiyor. TFF 2. Lig'de sezonu ikinci biteren ve 1. Lig'e yükselmek için play-off mücadelesi veren Hekimoğlu'nda bu sezon oynadığı 34 maçta 19 gol kaydeden deneyimli isim, Batuhan Karadeniz'den sonra takımın en golcü futbolcusu konumunda.